活用鸽笼原理，巧解超5星难题（18年9月20日）

建了一个奥数交流的微信群，

群里聚集了一群志同道合的高手，

每天讨论难度较高的题目，

有题目不懂也可以在群里请教，

愿意加群的朋友可以加我，

微信号："xuarfei",

请注明加奥数群，谢谢。

这是奥数君第625天给出奥数题讲解。

今天的题目是数论问题，

所用知识不超过小学5年级。

题目（超5星难度）：

将形如999…99000…00的自然数称作“九零数”，前面若干位是连续的9，后面若干位是连续的0。请问有没有“九零数”是2018的整数倍？

辅导办法:

题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长讲解。

讲解思路：

本题如果寻找2018倍数的规律，

将会陷入繁琐的计算，

几乎不能求解。

本文将介绍利用鸽笼原理的巧妙方法。

鸽笼原理又叫抽屉原理，

简单来说就是3只鸽子放入2个笼子，

一定有一个笼子里至少有2只鸽子。

步骤1：

先思考第一个问题，

所有自然数除以2018的余数有多少个？

这个问题很简单，

余数只能是0到2017共2018个。

步骤2：

再思考第二个问题，

记a(n)=99…99(共n个9)，

则a(1),a(2),…,a(2019)这2019个数中，

会不会有两个数除以2018的余数相同？

直接利用鸽笼原理，

将步骤1中的0到2017看作笼子，

将a(n)除以2018的余数看作鸽子，

一定有两个数除以2018的余数相同，

假设这两个数是a(m)和a(k)。

步骤3：

综合上述两个问题，

考虑原题的答案。

根据步骤2的结论，

a(m)和a(k)除以2018的余数相同，

因此a(m)-a(k)是2018的整数倍，

显然a(m)-a(k)是“九零数”，

所以原题的答案是有。

思考题 (4星难度)：

将形如999…99000…00的自然数称作“九零数”，前面若干位是连续的9，后面若干位是连续的0。所有“九零数”中，2018的整数倍有多少个？

微信回复“20180920”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。